Libro · 2013 · N. Bourbaki

Functions of a Real Variable

Questo libro è una traduzione inglese dell'ultima edizione francese delle Funzioni d'una Variabile Réelle di Bourbaki. Il primo capitolo è dedicato alle derivate, alle espansioni di Taylor, al teorema degli incrementi finiti e alle funzioni convessi. Nel secondo capitolo si studiano primitive e integrali (su intervalli arbitrari), così come la loro dipendenza rispetto ai parametri. Le funzioni classiche (esponenziali, logaritmiche, circolari e circolari inverse) sono investigate nel terzo capitolo. Il quarto capitolo fornisce un trattamento approfondito delle equazioni differenziali (proprietà di esistenza e unicità delle soluzioni, soluzioni approssimate, dipendenza dai parametri) e dei sistemi di equazioni differenziali lineari. Lo studio locale delle funzioni (relazioni di confronto, espansioni asintotiche) è trattato nel capitolo V, con un'appendice sui campi di Hardy. La teoria delle espansioni di Taylor generalizzate e la formula di Euler-MacLaurin sono presentate nel sesto capitolo e applicate nell'ultimo allo studio della funzione Gamma sulla retta reale e sul piano complesso. Sebbene gli argomenti del libro siano principalmente di un livello avanzato di laurea triennale, sono presentati con la generalità necessaria per scopi più avanzati: funzioni ammesse a prendere valori in spazi vettoriali topologici, espansioni asintotiche trattate su un insieme filtrato dotato di una scala di confronto, teoremi sulla dipendenza dai parametri delle equazioni differenziali direttamente applicabili allo studio dei flussi di campi vettoriali su varietà differenziali, ecc.